第13讲 · 工程与假设法同构实验室

经典原题

鲁滨逊单独造房子需要 6 天，野人星期五单独造房子需要 10 天。现在两人先后协作，共用了 7 天正好建完。问：鲁滨逊建了几天？

鲁滨逊 (需6天)：

野人星期五 (需10天)：

鲁滨逊工作天数

3.5天

+

星期五工作天数

3.5天

全让星期五干拖动分配时间全让鲁滨逊干

当前总工程量: 0%

鸡兔同笼、大小船、注水问题、工程问题，核心都是：两个不同效率贡献率，共同分配一个总量。

问题类型	分配总量	贡献A (高效率)	贡献B (低效率)	总贡献量
鸡兔同笼	总头数 (例如: 7个头)	兔: 4 只脚 / 头	鸡: 2 只脚 / 头	总脚数 (例如: 22只脚)
大小船	总船数 (例如: 7只船)	大船: 5 个座 / 船	小船: 3 个座 / 船	总座位数 (例如: 29个座)
注水问题	总时间 (例如: 7分钟)	快管: 1/6 池 / 分	慢管: 1/10 池 / 分	满水池 (单位 1)
工程问题 (本题)	总天数: 7天	鲁滨逊: 1/6 份 / 天	星期五: 1/10 份 / 天	完成房子: 单位 1

同构的威力：既然骨架一样，解决鸡兔同笼的“假设法”，就可以换一个情境直接用到工程问题上。

直接将“关系”翻译为代数语言

1. 设未知数

设鲁滨逊工作了 x 天，星期五工作了 y 天。

2. 列出等式

时间分配：x + y = 7

工作量目标：1/6x + 1/10y = 1

3. 求解

由 x + y = 7 得 y = 7 - x，代入 1/6x + 1/10y = 1，可求得 x = 4.5。

从极端情况出发，通过“替换”补齐差距

1. 假设全让星期五做 (7天)

完成量: 7 x 1/10 = 7/10，还差 3/10。

2. 替换追缺口

把 1 天星期五换成 1 天鲁滨逊，每天多完成：1/6 - 1/10 = 1/15

3. 计算结论

要补齐 3/10 的缺口，需要替换多少天？
鲁滨逊天数 = (3/10) ÷ (1/15) = 4.5 天

点击右上角“播放推导”
查看图解运算过程